Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
với hệ số hằng
2.2.1. Phương trình thuần nhất
• Phương trình thuần nhất có dạng:
( ) 1 2 1 2 y′′ +a y′ +a y = 0, a , a ∈ ℝ

Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4):
2
1 2 k +a k +a = 0 (5).

Trường hợp 1
Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 k , k .
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2
1 2 , k x k x y = e y = e
và nghiệm tổng quát là 1 2
1 2 . k x k x y =C e +C
Trường hợp 2
Phương trình (5) có nghiệm kép thực k .
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = ekx , y2 = xekx
và nghiệm tổng quát là 1 2 . kx kx y =C e +C xe

Trường hợp 3
Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp
k = α ±iβ.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:
1 2 cos , sin x x y e x y e x = α β = α β
và nghiệm tổng quát là:
( ) 1 2 cos sin . x y e C x C x
2.2.2. Phương trình không thuần nhất
• Phương trình không thuần nhất có dạng:
( ) 1 2 1 2 y′′ +a y′ +a y = f (x), a , a ∈ ℝ (6).
a) Phương pháp giải tổng quát
• Nếu (4) có hai nghiệm riêng 1 2 y (x), y (x) thì (6) có
nghiệm tổng quát là 1 1 2 2 y =C (x)y (x)+C (x)y (x).
Để tìm 1C (x) và 2C (x), ta giải hệ Wronsky:
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
C x y x C x y x
C x y x C x y
Giải hệ bằng định thức Crammer, ta được:
2
1
2
( )
( )
x
x
C x x e
C x xe
−
−

′ = −  ′ = 
2
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( 2 2)
( ) ( ) ( 1) .
x
x
C x C x dx e x x C
C x C x dx e x C
−
−

′ = = + + +  ⇒ ′ = = − + + 
∫
∫
Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:
1 2 2 x x y =C e +C xe +x + .
VD 13. Cho phương trình vi phân:
2 2 2 (2 ) x y′′− y′ + y = +x e (*).
1